Escala
Dezembro 29, 2008 — Sandra Di Flora
Você sabia que o Colecionismo (prática que as pessoas têm de guardar, organizar, selecionar, trocar e expor diversos itens por categoria em função de seus interesses pessoais), além de ser uma forma salutar de entretenimento é também uma arte?
Pois saiba que milhões de pessoas colecionam os mais diversos objetos no mundo todo e que no Brasil, infelizmente, não se dá a devida importância a essa atividade.
Nesse momento você deve estar se perguntando: por que tratar desse assunto num blog de Matemática?
Acontece que as empresas que fabricam miniaturas – carrinhos, por exemplo – utilizam a Escala para que as réplicas sejam perfeitas (há milhões de colecionadores de miniaturas de carrinhos no mundo).
E o que é Escala?
Escala é a razão constante entre qualquer medida do comprimento em um desenho (ou miniatura) e a medida correspondente no objeto real representado pelo desenho, ambas tomadas na mesma unidade de medida, ou seja, Escala é uma das aplicações da razão entre duas grandezas de mesma espécie (leia sobre razão aqui).
Em outras palavras:
Aí está a Matemática, ajudando as empresas a fabricar miniaturas com precisão!
Mas vamos ao que interessa.
Observe o anúncio de uma empresa que comercializa miniaturas de carros:
Analisando as informações do anúncio, temos:
O comprimento da miniatura é 14 cm .
A escala em que a miniatura foi construída é 1:32 ou 1/32 (1 para 32).
Qual seria, então, o comprimento real da McLaren de L.Hamilton?
Chamando de x , o comprimento real da McLaren de L.Hamilton e aplicando a “fórmula” de Escala, temos:
Aplicando a propriedade fundamental das proporções (o produto dos meios é igual ao produto dos extremos), temos:
Logo, o comprimento real da McLaren é de 448 cm ou 4,48 m .
A escala 1:32 indica, ainda, que o comprimento da miniatura é 32 vezes menor que o comprimento da McLaren real.
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Renda per capita
Agosto 22, 2008 — Sandra Di Flora
Quem já não leu em jornais e revistas informações como estas?
“Estudo do IBGE mostra que cresceu grupo de estados com renda per capita acima da média nacional”
(Agência Brasil, novembro/2006)
“ Brasil terá renda per capita de US$ 27,13 mil em 2050”
(Estadão.com.br, fevereiro/2007)
“Renda per capita dos trabalhadores urbanos da China cresce 18% no primeiro semestre”
(embchina.org.br, julho/2008)
Mas, poucas pessoas sabem que renda per capita é a razão entre o PIB (Produto Interno Bruto) e o número de habitantes de um país.
A grosso modo o Produto Interno Bruto (PIB) é o total de bens e de serviços produzidos por um país durante um ano. Assim, a renda per capita de um país equivale à quantia, em dólar, que cada habitante receberia caso o PIB fosse dividido igualmente entre toda a população.
No latim original per capita significa “por cabeça”, trata-se, portanto de uma renda por cabeça.
A razão que define a renda per capita é uma comparação entre grandezas de espécies diferentes: quantia em dólares por número de habitantes.
Utilize as informações contidas no texto acima e resolva o exercício 2 sobre “Razão e Proporção”.
Exercício 2:
Analise o quadro abaixo e, a seguir, responda às questões:
a) Calcule a renda per capita de cada um desses países.
b) Comparando a renda per capita dos países do item anterior, qual dos países é o mais rico?
c) O fato de a renda per capita de um país ser alta significa que todos os seus habitantes vivam bem?
Número de Ouro
Agosto 3, 2008 — Sandra Di Flora
Várias são as versões a respeito do surgimento do número áureo. Uma delas afirma que esse número surgiu por acaso, quando o matemático grego Euclides (
Depois de várias tentativas, Euclides encontrou uma divisão, que classificou como a mais harmônica:
Um segmento de reta AB foi dividido em duas partes AC e CB, de modo que:
(AB está para AC assim como AC está para CB – proporção áurea)
O valor encontrado para as razões:
é o número irracional 1,618033989…, que é usado, geralmente, com apenas três casas decimais : 1,618 (número áureo ou razão áurea).
Posteriormente atribuiu-se ao número áureo a letra grega Φ (fi) em homenagem a Fídias, o famoso arquiteto e escultor grego, que utilizava a razão áurea em suas obras.
No Paternon – sua obra mais célebre – a razão áurea aparece em destaque no retângulo, chamado de retângulo áureo, pois dividindo-se a medida do seu comprimento pela medida de sua largura encontra-se o número FI (Φ = 1,618).
Paternon – obra de Fídias
O número áureo pode ser obtido algebricamente.
Clique no link abaixo e acompanhe essa demonstração.
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Razão e proporção no dia-a-dia
Julho 29, 2008 — Sandra Di Flora
Uma das maneiras mais eficientes de se ensinar razão e proporção é aplicar os seus conceitos em situações do nosso cotidiano, como no exercício a seguir.
Este é o primeiro de uma série de exercícios que pretendo inserir neste blog sobre o assunto “Razão e Proporção”.
Resolva o exercício proposto e, depois, clique em “Resposta Comentada”, para fazer a correção do mesmo.
Exercício 1:
O gráfico abaixo informa a quantidade de calorias gastas por uma pessoa, no período de 1 hora, quando faz determinadas atividades:
Analisando os dados apresentados no gráfico, pergunta-se:
a) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao ficar sentado e ao jogar basquetebol?
b) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao cavalgar e ao correr?
c) As razões obtidas nos itens a) e b) formam uma proporção?
d) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao ficar sentado e ao nadar?
e) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao nadar e ao correr?
f) As razões obtidas nos itens d) e e) formam uma proporção?
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A diferença entre razão e fração
Julho 25, 2008 — Sandra Di Flora
Sempre que me perguntam: “qual é a diferença entre razão e fração?”, eu recorro aquele clássico exemplo da relação candidato/vaga no vestibular.
Exemplificando:
Quando ouvimos a frase ”no vestibular para Medicina da universidade X, a relação candidato/vaga é de 5 para 2” , estamos diante de uma razão, já que duas grandezas estão sendo comparadas: a quantidade de candidatos que se inscreveram no vestibular da universidade X, com a quantidade de vagas disponíveis nessa universidade.
Na verdade, o correto seria afirmar: a razão candidato/vaga é de 5 para 2.
Mas, como se chegou à razão “ 5 para 2” ?
A tabelinha abaixo pode nos ajudar: 
Observe que os valores da primeira linha representam a razão inicial, isto é, 950 candidatos irão disputar as 380 vagas oferecidas pela universidade X, para o seu curso de Medicina.
As linhas subseqüentes foram obtidas através da divisão (simplificação) dos valores das duas colunas pelo mesmo número natural, isto é, por 2, por 5 e por 19.
Assim: 950/380 = 5/2 (razão 5 para 2 )
A igualdade acima é chamada de proporção, pois é uma igualdade entre duas razões.
Para essa igualdade vale a propriedade fundamental das proporções:
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios
Isto é: 950 x 2 = 380 x 5
E a fração, como é que fica nessa historinha?
Bem, a fração é apenas e, tão somente, uma divisão entre dois números.
Vamos supor que desejamos dividir 5 por 2, ou seja, queremos descobrir quantos grupos de 2 elementos conseguimos formar num grupo de 5 elementos.
A resposta para essa divisão é: podem ser formados 2 grupos de dois elementos e sobra 1 elemento.
Na forma decimal, pode-se escrever 2,5 – o que significa 2 grupos inteiros e metade de um grupo de 2 elementos.
Essa divisão pode ser escrita também na forma de fração : 5/2
Para finalizar, vale estabelecer as seguintes definições:
Fração é uma divisão entre dois números
Razão é uma comparação entre duas grandezas
Proporção é a igualdade entre duas razões
O número FI
Maio 1, 2008 — Sandra Di Flora
A razão áurea é um dos assuntos – em Matemática – que mais me chama a atenção. Sempre que tenho oportunidade pesquiso, na rede, artigos ou curiosidades sobre o assunto. O texto e a imagem abaixo, por exemplo, foram retirados da revista Veja-out/2006, da qual sou assinante.
A matéria do referido semanário é, na verdade, a divulgação do livro do astrofísico israelense Mario Livio “Razão Áurea”, da editora Record.
Pretendo postar outras informações a respeito da razão áurea, sem a preocupação de ordenar ou classificar por ordem de importância, mas de acordo com as minhas descobertas.
Boa leitura!
(…)A Matemática não se resume a propriedades, fórmulas e regras. Existem alguns números especiais que são tão onipresentes, que nunca deixam de nos surpreender. O mais famoso deles é o número Pi (π), que é a razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro.
O valor de Pi, 3,14159…, tem fascinado muitas gerações de matemáticos. Embora tenha sido originalmente definido na geometria, o Pi aparece muito freqüente e inesperadamente no cálculo de probabilidades.
Menos conhecido que o Pi é um outro número, o Fi (Φ), que, em muitos aspectos, é ainda mais fascinante. Suponha que eu lhe pergunte: o que o encantador arranjo de pétalas numa rosa vermelha, o famoso quadro “O Sacramento da Última Ceia”, de Salvador Dalí, as magníficas conchas espirais de moluscos e a procriação de coelhos têm em comum?
É difícil de acreditar, mas esses exemplos bem díspares têm em comum certo número, ou proporção geométrica, conhecido desde a Antiguidade, um número que no século XIX recebeu o título honorífico de “Número Áureo”, “Razão Áurea” e “Seção Áurea”. Um livro publicado na Itália no começo do século XVI chegou a chamar essa razão de “Proporção Divina”.O valor exato da Razão Áurea é o número que nunca termina e nunca se repete 1,6180339887…, e esses números que nunca terminam têm intrigado os homens desde a Antiguidade.
Diz uma história que quando o matemático grego Hipasos de Metaponto descobriu, no século V a.C., que a Razão Áurea é um número que não é nem inteiro (como os familiares 1, 2, 3…) nem razão de dois números inteiros como as frações 1/2, 2/3, 3/4,…, (conhecidos coletivamente como números racionais),isso deixou totalmente chocados os outros seguidores do famoso matemático Pitágoras (os pitagóricos).
A visão de mundo dos pitagóricos era baseada numa admiração extrema pelos arithmos — as propriedades intrínsecas dos números inteiros ou suas razões — e seu suposto papel no Cosmo. A descoberta de que existiam números como a Razão Áurea que continuam para sempre sem exibir qualquer repetição ou padrão causou uma verdadeira crise filosófica.
A visão de mundo dos pitagóricos era baseada numa admiração extrema pelos arithmos — as propriedades intrínsecas dos números inteiros ou suas razões — e seu suposto papel no Cosmo. A descoberta de que existiam números como a Razão Áurea que continuam para sempre sem exibir qualquer repetição ou padrão causou uma verdadeira crise filosófica.
Reza a lenda que, aturdidos com a estupenda descoberta, os pitagóricos sacrificaram, apavorados, cem bois, embora isso pareça ser bastante improvável, já que os pitagóricos eram estritamente vegetarianos. A data exata da descoberta de números que não são inteiros nem frações, conhecidos como números irracionais, não é conhecida com grau algum de certeza.
O que é claro é que os pitagóricos basicamente acreditavam que a existência de tais números era tão horrível que devia (a existência) representar algum tipo de erro cósmico, algo que deveria ser suprimido e guardado em segredo.
Mas por que tanto alvoroço em torno disso? O que faz desse número, ou proporção geométrica, algo tão interessante que deva merecer toda essa atenção?
A atratividade do “Número Áureo” origina-se, antes de tudo, do fato de que ele tem um jeito quase sobrenatural de surgir onde menos se espera.(…)
Mas por que tanto alvoroço em torno disso? O que faz desse número, ou proporção geométrica, algo tão interessante que deva merecer toda essa atenção?
A atratividade do “Número Áureo” origina-se, antes de tudo, do fato de que ele tem um jeito quase sobrenatural de surgir onde menos se espera.(…)
MATEMÁTICA PASSO A PASSO
RAZÃO E PROPORÇÃO
PFOF. EDMUNDO REIS BESSA
| Ensino Fundamental: Razões e Proporções | |
Razões
A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, denotada por:
 A B |
Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:
| 12 3 | = 4 |
e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:
| 3 6 | = 0,5 |
A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:
| A B | = A/B |
Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo.
| Líquido | Situação1 | Situação2 | Situação3 | Situação4 |
| Suco puro | 3 | 6 | 8 | 30 |
| Água | 8 | 16 | 32 | 80 |
| Suco pronto | 11 | 22 | 40 | 110 |
Na Situação1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de água, perfazendo o total de 11 litros de suco pronto.
Na Situação2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de água, perfazendo o total de 24 litros de suco pronto.
Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.
Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.
10 : 20 = 1 : 2 = 0,5
Proporções
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:
| A B | = | C D |
Notas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma6:3 :: 8:4.
Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento.
Propriedade fundamental das proporções
Numa proporção:
| A B | = | C D |
os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:
A · D = B · C
Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:
| 3 4 | = | 6 8 |
Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.
Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:
| x 3 | = | 4 6 |
Para obter X=2.
Razões e Proporções de Segmentos
Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, respectivamente, por 2cm e 4cm.
A________B, C ______________ D
Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas medidas.
| m(AB) m(CD) | = | 2 4 |
Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 2 ou que CD está para AB na razão de 2 para 1.
Polígonos Semelhantes
Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.
Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.
Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas aqui por, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais.
AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2
Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por :ABC ~ DEF
Figuras Semelhantes
Duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas correspondentes congruentes, ou seja, quando uma é uma ampliação ou redução da outra. Isto significa que existe uma proporção constante entre elas sem ocorrência de deformação. A figura final e a figura original são chamadas figuras semelhantes.
As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões dos segmentos que ocupam as correspondentes posições relativas nas figuras.
Exemplo: Nos triângulos
observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, B=S e C=T e os lados correspondentes são proporcionais.
AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2
Assim, os triângulos ABC e DEF são semelhantes e indicamos por:
ABC ~ DEF
Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.
Os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhos diferentes. O mapa verde é uma ampliação do mapa amarelo ou o mapa amarelo é uma redução do mapa verde.Aplicações práticas das razões
Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade média, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo.
1. Velocidade Média: A "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).
vmédia = distância percorrida / tempo gasto
Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em 2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?
A partir dos dados do problema, teremos:
vmédia = 328 Km / 2h = 164 Km/h
o que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 Km/h , ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km .
2. Escala: Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho à razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade.
escala = comprimento no desenho / comprimento real
Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.
Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:
Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4
Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8
Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6
Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8
Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6
O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção.3. Densidade Demográfica: O cálculo da densidade demográfica, também chamada de população relativa de uma região é considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o numero de habitantes e a área ocupada em uma certa região.
Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador de um time, sendo que não pode haver substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.
Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km². De acordo com o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim:
densidade demográfica = 12.000.000 habitantes/200.000 Km²
densidade demográfica = 60 habitantes/ Km2
densidade demográfica = 60 habitantes/ Km2
Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente 60 habitantes.
4. Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo é mais uma aplicação de razão entre duas grandezas. Assim, a densidade (volumétrica) de um corpo é a razão entre a massa desse corpo, medida em Kg ou gramas e o seu volume, medido em m³, dm³ ou qualquer outra unidade de volume.
Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de 8,75 kg/dm³ então para cada dm³ há uma massa de 8,75 kg .
Curiosidade:Devido à existência de densidades diferentes, observamos que ao colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água, alguns afundam e outros flutuam.
Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume afundará. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. Algumas substâncias e suas densidades estão na tabela abaixo:
| Substância | Densidade [g/cm³] |
| madeira | 0,5 |
| gasolina | 0,7 |
| álcool | 0,8 |
| alumínio | 2,7 |
| ferro | 7,8 |
| mercúrio | 13,6 |
5. 
Pi: Uma razão muito famosa: Os egípcios trabalhavam muito com certas razões e descobriram a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Este é um fato fundamental pois esta razão é a mesma para toda circunferência. O nome desta razão é Pi e seu valor é aproximadamente:
Pi: Uma razão muito famosa: Os egípcios trabalhavam muito com certas razões e descobriram a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Este é um fato fundamental pois esta razão é a mesma para toda circunferência. O nome desta razão é Pi e seu valor é aproximadamente:Pi = 3,1415926535
Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâmetro da circunferência, temos uma razão notável:
C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...
significando que
C = Pi. D
Exemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5cm então o perímetro da circunferência é igual a 9,43cm.
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