Conteúdo para 9º ano

Método de "Bhaskara":
http://pt.wikipedia.org/wiki/Bhaskara_II


Fatoração:




2) Fatore:
(a + 1)2 + 2 (a + 1) + 1


a)
a (a + 4)
b)
(a + 1)2
c)
(a + 2)2
d)
(a - 2)2
e)
(a + 1) (a + 1 + 1)


3) Fatore x2 - 4x + 4 + 3 (x - 2) (x + 1)


a)
(x - 2) + 3 (x - 1)
b)
(x - 2) (3x2 - 5)
c)
5x - 7
d)
(x - 2) - (4x - 5)
e)
(2x - 2) (2x - 5)


4) Fatore (x2 + 9)2 - 36x2


a)
3 (x2 - 12x2 + 3)
b)
(x + 3)2 . (x - 3)2
c)
(x + 3) . (x - 3)
d)
(x - 3)2 . (x - 3)2
e)
(x + 3)4


5) Fatore:
x2 + 6x + 9


a)
(x - 3)2
b)
(x + 3)2
c)
x2 + 3
d)
(x - 9)2
e)
3 (x + 3)2


6) Fatore:
x4 - y4


a)
(x2 - y2) (x - y) (x - y)
b)
(x2 + y2) (x + y) (x + y)
c)
(x2 + y2) x2
d)
(x2 + y2) y2
e)
(x2 + y2) (x + y) (x - y)


12) Fatore a expressão:
abd - abe + acd - ace


a)
a2 . (d + e) (b + c)
b)
a . (d + e) (b - c)
c)
a . (d - e) (b + c2)
d)
a . (d - e) (b2 + c2)
e)
a . (d - e) (b + c)


13) Efetue o produto (x - y) . (x + y) . (x2 + y2).


a)
x4 - y4
b)
x4 + 4x2y2 + y4
c)
x4 - 2x2y2 + y4
d)
x4 + y4
e)
x4 + 2x2y2 + y4



16) Fatore:
9x2 - 12x + 4


a)
(x + 2)2
b)
(6x + 3)2
c)
(3x - 2)2
d)
(3x + 2)2
e)
3 (3x2 - 4x)


17) Fatore:
(x + y)2 - 2 (x + y) + 1


a)
(x + y)2 - 2 (x + y)
b)
(x + y + 1)2
c)
(x - y)2
d)
2 (x + y) + 12
e)
(x + y)2 + (x - y)

19) Fatore:
x2 - 2xy + y2 - z2


a)
(x - z + z) . (x - y - z)
b)
(x - y)2 - z2
c)
(x - y)2
d)
(x - y) (x - y - z)
e)
(x - y - z)2


20) Fatore:
4x2 - z2 + 4xy + y2


a)
(2x - y - z)2
b)
(2x + z) (2x + y)
c)
(2x + y + z)2
d)
(2x + y)2 - z2
e)
(2x + y + z) (2x + y - z)


26) Fatore 3xy2z3 + 6xyz3 - 3xz2.


a)
3xyz . (yz + 2yz + 1)
b)
32x2y2z . (y2z + 2yz + 1)
c)
3xz2 . (y2z + 2yz - 1)
d)
3x3 . (y2z + 2yz - 1)
e)
3xz3 . (y2z + 2yz + 1)


27) Fatore a expressão:
-5x2 + 25x


a)
-5x2 . (x2 + 5)
b)
-5x . (x + 5)
c)
-5x2 . (x - 5)
d)
-5x . (x2 - 5)
e)
-5x . (x - 5)


28) Fatore a expressão:
15xy2 - 10x2y2


a)
10xy (3 + x)
b)
15x2y2 (3 - x)
c)
5xy2 (3 - x)
d)
5xy2 (3 + x)
e)
5xy (3 - x)


29) Fatore a expressão:
27x3y3 + 81x2y4


a)
27x2y3 . (x + 3y)
b)
27x3y3 . (x + y)
c)
81xy . (x + 3y)
d)
81x2y2 . (x - 3y)
e)
9x2y3 . (x - 3y)


30) Fatore a expressão:
14a2b3 + 17b3


a)
b . (7a2 + 17)
b)
b3 . (14a2 + 17)
c)
b3 . (7a2 + 17)
d)
b2 . (14a + 17)
e)
b2 . (2a + 17)


31) Fatore a expressão:
11a3b2 - 15a2b


a)
ab . (11ab - 10)
b)
a2b2 . (11ab - 15)
c)
a2b . (11ab - 15)
d)
a2b . (11ab 15 15)
e)
a2b2 . (11ab + 15)


32) Fatore a expressão:
ax + a + x + 1


a)
(x - 1) . (a + x)
b)
(x + 1) . (a + 1)
c)
(x - 1) . (a + 1)
d)
(x - 1) . (a - 1)
e)
(x - 1) . (a - x)


33) Fatore a expressão:
3a + 6


a)
3a + 2
b)
3 . (a + 1)
c)
6 . (a + 2)
d)
3 . ( a + 2)
e)
3 . (a + 6)


34) Fatore a expressão:
-2a2 - 8a


a)
2a . (a + 4)
b)
2a . (a + 2)
c)
-2a . (2a + 4)
d)
-2a . (a + 4)
e)
-8a . (a + 4)


36) Fatore:
16x4 - 25y2


a)
(2x2 + 5y) . (2x2 + 5y)
b)
(2x2 + 5y) . (2x2 - 5y)
c)
(4x2 + 5y) . (4x2 - 5y)
d)
(4x2 - 5y) . (4x2 - 5y)
e)
(4x2 + 5y) . (4x2 + 5y)


37) Fatore:
144 - h2


a)
(144 - h) (144 + h)
b)
(144 - h) (144 - h)
c)
(100 - h) (44 + h)
d)
(12 + h) (12 - h)
e)
(12 + h) (12 + h)


38) Fatore:
2y3 - 18y


a)
(y + 3)2 (y - 3)3
b)
(y + 3)3 (y - 3)3
c)
2y . (y + 3) (y - 3)
d)
2y . (y + 3)3
e)
2y . (y + 3) (y + 3)


39) Fatore:
2t2 - 288


a)
(t + 12) (t - 12)
b)
(t + 287) (t - 1)
c)
2 . (t + 12) (t - 12)
d)
2 . (t + 12) (t + 12)
e)
2 . (t - 12) (t - 12)


40) Fatore:
( x + y )2 - z2


a)
(x + y + z)2 . (x + y + z)
b)
(xyz)2 + (x - y - z)2
c)
(x - z) . (y - z)2
d)
(x + y + z) . (x + y - z)
e)
(x - y - z) . (x - y - z)


41) Fatore:
a2 - b2 + a + b


a)
(a + b) . (a - b + 1)
b)
(a + b) . (a - b)
c)
(a - b) . (a - b)
d)
(a + b)2 . (a + b + 1)2
e)
(a - b)2 . (a - b -1)2


42) Se x e y são números reais distintos, então:


a)
(x²+y²)/(x-y) = x+y
b)
(x²-y²)/(x-y) = x+y
c)
(x²+y²)/(x-y) = x-y
d)
(x²-y²)/(x-y) = x-y
e)
Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.


43) Fatorando a² - b² obtemos:


a)
a. b+ 3 (a+ b+ c)
b)
3. a- b. c
c)
(a + b) (a - b)
d)
a. b+ c
e)
n.d.a


44) Fatorando x² + 2y² + 3xy + x + y obtemos:


a)
(2x - y ).(x - 2y +3)
b)
( x + y ) . (x + 2y + 1)
c)
(2x + y) . (x + y -3 )
d)
x + y (2. x .y)
e)
2x +y (x + 2y + 1)


45) Fatorando x²y - xy² obtemos:


a)
y. x (2- 3)
b)
x (x+ 5)
c)
5.x ( 3 - y )
d)
xy (x - y)
e)
N.d.a


46) Fatorando 12 a²b + 18 a b² obtemos:


a)
(2 .a + 2b ) . (3.a .2b)
b)
(a. b)( 3a. 2+ b)
c)
( 2+ a. b).(3.a . 2.b)
d)
2+ a. 3b (2+ a- 3.b)
e)
(2 .a + 3b ) . (6 a b)






49) Fatorando 6a2b + 8a obtemos:


a)
2.a ( 3ab + 4 )
b)
4.a ( 6ab + 2 )
c)
2.a + b. 2
d)
2.a.b
e)
3.b (2. b+ a. 4)


ExercíciosEquações do 2º Grau



1. Resolva as seguintes equações do 2º grau, sendo o conjunto U = R:

a) x2 + 7x = 0 S = {0, -7}
b) -3x2 + 9x = 0 S = {0, 3}
c) 2x2 + 3x = 0 S = {0, 3/2}
d) (y + 5)2 = 2x + 25 S = {0, - 8}
d) x2 + 9x = 0 S = {0,-9 }
e) (y + 5)(y – 1) = 2y – 5 S = {0, - 2}
e) y2 – 10 = 0 S = { }
f) 2x2 + 50 = 0 S = { }
g) -5r2 + 20 = 0 S = {-2, 2}
h) 9a2 = 25 S = {-5/3, 5/3}
i) (b + 6)(b – 4) = 2b + 12 S = {-6, 6}
j)  5y2- 9y – 2 = 0 S = {2, -1/3}
k) x2 – 9x + 20 = 0 S = {4, 5}
l) y2 + 9y + 14 = 0 S = {-2, -7}
m) b2 – 3b – 10 = 0 S = {-2, 3}
n) 2y2 + 7y + 6 = 0 S = {-2, -3/2}
o) 4y2 – 4y + 2 = 0 S = { }
p) 5t2 – 9t + 4 = 0 S = {1, 4/5}
q) 21m2 –26x + 8 + 0 S = {2/3, 4/7}
r) 4p2 – 20p + 25 = 0 S = {5/2}
s) x(x + 3) = 5x + 15 S = {-3, 5}
t) 2(a – 5) = a2 – 13 S = {-1, 3}
u) S = {-1/3, -1}
v) S = {2/3, -4/3}
w) x2 + 14x + 49 = 0 S = {-7}
x) 9y2 – 24y + 16 = 0 S = {4/3}
y) (3y + 2)(y – 1) = y(y + 2) S = {2, -1/2}
z)  m2(m – 1) = m(m + 1)(m + 5) S = {0, -5/7}


Exemplos de Função


Podemos definir função como uma relação entre duas ou mais grandezas. Veja a seguinte situação:

Exemplo 1 – Combustível
O preço do litro da gasolina em um posto é R$ 2,50.
Litros
Valor a pagar
1
R$ 2,50
2
R$ 5,00
3
R$ 7,50
4
R$ 10,00
5
R$ 12,50
10
R$ 25,00
15
R$ 37,50
20
R$ 50,00
O total a pagar depende da quantidade de gasolina abastecida. Podemos estabelecer uma relação entre a quantidade de litros de gasolina e o valor a ser pago:
f(x): preço a pagar (varia de acordo com a quantidade de litros abastecidos)
x: litros (variável)
y: preço do litro (valor pré-fixado)
Temos que a lei de formação da função é: f(x) = 2,50x

Exemplo 2Taxi
Um taxista cobra um valor fixo de R$ 4,20 mais R$ 0,30 por quilômetro rodado. Escreva a função que determina o valor de uma corrida e qual o valor que uma pessoa irá pagar por ter usado os serviços do taxista após rodar 20 km.
Função: f(x) = 0,30x + 4,20 (onde x: km rodados e R$ 4,20 valor fixo)
f(x) = 0,30x + 4,20
f(20) = 0,30 * 20 + 4,20
f(20) = 6 + 4,20
f(20) = 10,20
A pessoa irá pagar R$ 10,20 pelo serviço prestado.

Exemplo 3Eletrônica
Carlos é um técnico em eletrônica e presta serviços autônomos. Por uma visita ele cobra R$ 40,00 mais R$ 5,00 por hora de trabalho. Quanto Carlos irá cobrar por um trabalho que demorou 9 horas?
Função: f(x) = 5x + 40
f(x) = 5x + 40
f(9) = 5 * 9 + 40
f(9) = 45 + 40
f(9) = 85
Carlos irá cobrar R$ 85,00.

Exemplo 4 – Custo
Para produzir um determinado produto, uma indústria tem um custo fixo de R$ 32,00 mais R$ 1,50 por peça produzida. Qual o custo de produção de 500 peças?
Função: f(x) = 1,5x + 32
f(500) = 1,5 * 500 + 32
f(500) = 750 + 32
f(500) = 782
O custo para a produção de 500 peças será de R2,00.

Exemplo 5 – Farmácia
Alguns medicamentos, após entrarem no corpo humano, vão sendo eliminados naturalmente de tal modo que a quantidade ativa M, do fármaco no organismo, segue uma lei exponencial de declínio da forma : M = M0 e-kt
Tendo:
k é uma constante positiva e t é variável tempo e M0 é a quantidade ativa inicial (no instante t = 0).

Exemplo 6 – Psicologia
A fórmula da aprendizagem de símbolos
Um psicólogo desenvolveu uma fórmula que relaciona o número  n   de símbolos que uma pessoa pode memorizar no tempo  t , em minutos.
A fórmula é:  n = 30 . ( 1 - e -t/3 )
   
Exemplo 7 – Ciências
A pressão atmosférica
A pressão atmosférica,  P ,  em polegadas de mercúrio  ( 1 polegada = 25,4 mm ), é dada por :
P (h) = 30 x 10-0,09h
Onde h é a altura, em milhas  ( 1 milha = 1609 metros ) , acima do nível do mar.

Exemplo 8 – Biologia
Crescimento de uma população
De um modo geral, a população, ou seja, o numero de bactérias, mosquitos, etc,  existentes num instante t é dado por uma lei exponencial do tipo:
P = P0 e 0,01t ,
P0 é a população inicial (população no instante t = 0).

Exemplo 9 – Capital acumulado
O capital acumulado a prazo ao fim de n anos, quando capitalizado de forma continua , pode ser calculada através da função
C = C0 e tn, em que C0 representa a quantia depositada e t a taxa de juro anual ( na forma decimal) e C representa o capital acumulado .   

Exemplo 10 – Farmácia
A quantidade, em gramas, de substância radioativa de uma amostra decresce segundo a fórmula:
Q(t) = Q0 e 0,0001t

Exemplo 11 – Ruídos
 Um  som de nível A de decibéis está relacionado com a sua intensidade  i  pela equação
A = 10 log i       ( com i > 0 )

Exemplo 12 – Biologia
O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função:
N(t) = 200 . 3 kt
N: representa o número de bactérias no instante t.
t: o tempo em horas.
k: constante
A produção tem início para t = 0. Decorridas 12 horas, há um total de 600 bactérias.

Exemplo 13 – Física
A temperatura de um paciente, depois de receber um anti-térmico, é dada pela função T(t) = 36,4 + [3/(t + 1)], onde T é a temperatura em graus Celsius e t é o tempo medido em horas, a partir do momento em que o paciente é medicado.

Exemplo 14 – Física
Uma pedra é atirada para cima e sua altura h, em metros, é dada pela função h(t) = at2 + 12t, em que t é medido em segundos.

Exemplo 15 – Biologia
Cíntia, Paulo e Paula leram a seguinte informação numa revista:
“Conhece-se, há mais de um século, uma fórmula para expressar o peso ideal do corpo humano adulto em função da altura”:
P = (a - 100) - [(a - 150)/k] onde P é o peso, em quilos, a é a altura, em centímetros,  k = 4, para homens, e k = 2, para mulheres"

Exemplo 16 – Física
Um projétil é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial de 300 m/s (suponhamos que não haja nenhuma outra força, além da gravidade, agindo sobre ele). A distância d (em metros) do ponto de partida, sua velocidade v (em m/s) no instante t (em segundos contados a partir do lançamento) e aceleração a (em  m/s2) são dadas pelas fórmulas:
            d = 300t - (1/2).10 t2,
           v = 300 - 10t,        a = -10

Exemplo 17 – Biologia
A porcentagem p de bactérias em certa cultura sempre decresce em função do número t de segundos em que ela fica exposta à radiação ultravioleta, segundo a relação: p(t) = 100 - 15t + 0,5t2.

Exemplo 18 – Biologia  
Um pesticida foi ministrado a uma população de insetos para testar sua eficiência. Ao proceder ao controle da variação em função do tempo, em semanas, concluiu-se que o tamanho da população é dado por:                 f(t) = - 10t2 + 20t + 100.

Exemplo 19 – Lucro
Uma empresa que elabora material para panfletagem (santinhos) tem um lucro, em reais, que é dado pela lei L(x) = - x2 + 10x - 16, onde x é a quantidade vendida em milhares de unidades.

Exemplo 20 – Biologia
O desenvolvimento da gestação de uma determinada criança, que nasceu com 40 semanas, 50,6 cm de altura e com 3.446 gramas de massa, foi modelado, a partir da 20ª semana, aproximadamente, pelas funções matemáticas.
            h(t) = 1,5t - 9,4 e
            p(t) = 3,8 t2 - 72 t + 246,
Onde t indica o tempo em semanas,  h(t) a altura em centímetros e p(t) a massa em gramas.

Exemplo 21 – Custo total
Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 200,00 mais um custo variável de R$ 1,20 por peça produzida.
Note que temos um valor fixo de R$ 200,00 e um valor que varia de acordo com a quantidade de peças produzidas, R$ 1,20.
y = 1,2.x + 200  Para:  y = Custo Total   e   x = peças produzidas

Exemplo 22 – Custo Total
Uma empresa de planos de saúde propõe a seus clientes as seguintes opções de pagamento mensais:
Plano A: um valor fixo de R$ 110,00 mais R$ 20,00 por consulta dentro do período.
Plano B: um valor fixo de R$ 130,00 mais R$ 15,00 por consulta dentro do período.
Função do plano A: y = 20x + 110
Função do plano B: y = 15x + 130  Para:  y = Custo do plano e x = número de consultas


Bibliografia:

Site:


Livros:
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. 3 vols. São Paulo: Ática, 2003.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. 4 vols. São Paulo: Ática.
IEZZI, G.. Fundamentos de Matemática Elementar. 11 vols. São Paulo: Atual.
Professor: João Rafael - Matemática


MATEMÁTICA FINANCEIRA
Conceitos básicos
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.
Capital
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).
Juros
Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.
JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.
Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.
Taxa de juros
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)



JUROS SIMPLES
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
J = P . i . n
Onde:
J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )
M = P . ( 1 + ( i . n ) )
Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
SOLUÇÃO:
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

Exercícios sobre juros simples:
1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
0.13 / 6 = 0.02167
logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195
j = 1200 x 0.195 = 234
2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
Temos: J = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
J = 40000.0,001.125 = R$5000,00
3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M = 2.P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P (1 + i.n)
Desenvolvimento:
2P = P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8 meses


JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos:
mês: M =P.(1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Simplificando, obtemos a fórmula:
M = P . (1 + i)n
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:
J = M - P
Exemplo:
Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)
Resolução:
P = R$6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M = ?
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:
M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12
Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:
log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509
Então M = 6000.1,509 = 9054.
Portanto o montante é R$9.054,00




Medidas


1.    Determine a soma de 0,018 km + 3421 dm + 0,054 hm, dando o resultado em metros.

2.    O perímetro de um triângulo é 0,097 m e dois de seus lados medem 0,21 dm e 42 mm. Determine a medida do terceiro lado, em centímetros.

3.    Uma mesa tem forma quadrada e seu perímetro é 480 cm. Calcule a área dessa mesa , em metros quadrados.

4.    Paulo comprou um sítio medindo 1,84 ha. Se cada metro quadrado custou 300 reais, quanto Paulo pagou pelo sítio?


5.    Resolva a expressão dando o resultado em metros cúbicos, 1425 dm3 + 0,036 dam3 +165000 cm3

6.    Transforme:
a)3,621 dam3 para m3
b)16,4 m3 para dm3
c)314 cm3 para m3
d)0,01816 dm3 para cm3


7.    O volume de um recipiente é 6500 cm3. Determine sua capacidade em litros.

8.    Ana e Aline pesam juntas 78 kg. Se o peso de Ana é 42200g, qual será o peso de Aline?


9.    José pagou por 2,5 toneladas de arroz a quantia de 3000 reais. Determine o preço pago por quilo de arroz.

10. Se 1kg de carne custa 3,25 reais, quanto pagarei por 3200 g?

11. Uma corrida de Formula 1 teve início às 2h 10min 42s. Se o vencedor faz um tempo de 3830s, a que horas terminou a corrida?


12. Calcule o número de minutos que equivalem a 1mês 4dias 5horas

13. No bairro Nova Viçosa, durante o mês de novembro, choveu três vezes com as seguintes durações: 25min 30s, 3h 42min 50s e 1h 34min 20s. Qual o tempo total de duração das chuvas neste bairro durante o mês de novembro?

14. Para resolver 8 problemas Junior gasta 2h 48min 16s. Supondo que ele gasta tempos iguais em todas os problemas, qual é esse tempo?

RESPOSTAS



1)     365,5 m
2)    3,4 cm
3)     1,44 m2
4)     5 520 000 reais
5)     37,59 m3
7)     6,5litros
8)     35800g
9)     1,20
10) 10,40
11) 3h 14min 32s
12)  49260 min
13)  5h 42min 40s
14) 21min 2s

 Exercícios Equações e Problemas do 1º grau com uma variável

1.Vamos resolver as seguintes equações do 1º grau, sendo U = Q:

a) 5x – 40 = 2 – x
b) 20 + 6x = -2x + 26
c) 3,5x + 1 = 3 + 3,1x
d) 7p + 15 – 5p 10 = - 17 + 13p
e) 13y – 5 = 11 + 9y
f) 9t – 14 = 7t + 20
g) 5 – a – 11 = 4a – 22
h) 2y + 21 – 6y = - 12 + y – 7
i) 3(x – 2) – (1 – x) = 13
j) 6(4 – t) – 55 = - 5(2t+ 3)
l) 5 – 4(x – 1) = 4x – 3(4x – 1) – 4
m) 3(y – 3) + 4 = 2[-(y – 5) – 4(2y + 1)]

2. Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 13 animais e 46 pés. Quantas galinhas e quantos coelhos há nesse terreno?

3. A soma de dois números é 20. Se o dobro do maior é igual ao triplo do menor, determine o quadrado da diferença desses dois números.

4. A soma da sexta parte com a quarta parte de um determinado número é o mesmo que a diferença entre esse número e 56. Qual é o número?

5. Uma empresa, em Viçosa, deu férias coletivas aos seus empregados. Sabe-se que 48% dos empregados viajaram para o Rio de Janeiro, 28% viajaram para Belém e os 12 restantes ficaram em Viçosa. Nessas condições, quantos empregados tem essa empresa?

6. Uma casa, com 250 m2 de área construída, tem 4 dormitórios do mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório, se as outras dependências da casa ocupam uma área de 170 m2?

7. Numa turma de 30 alunos, 6 escrevem com a mão direita e 2 escrevem com as duas mãos. Quantos alunos escrevem apenas com a mão direita?

8. Um reservatório contém combustível até 2/5 de sua capacidade total e necessita de 15 litros para atingir 7/10 da mesma. Qual é a capacidade total desse reservatório?

9. A soma de três números inteiros e consecutivos é 60. Qual é o produto desses três números.


 Problemas do 2º grau com uma variável

1.    A soma de dois números é igual a 18. Calcule o número maior, sendo o número maior igual ao número menor somado a 2.

2.    Roberto e Márcia têm juntos 26 anos. Se Roberto tem 2 anos a mais que Márcia qual a idade dela?

3.    Num pacote há 51 balas e pirulitos. O número de balas é igual ao número de pirulitos, aumentado de 7 unidades. Determine o número da balas.

4.    Cruzeiro e Atlético marcaram 54 gols num campeonato. Se o Cruzeiro marcou 8 gols a mais que o Atlético, quantos gols marcou o Cruzeiro?

5.    Dois números somados valem 42. Sendo o número maior igual ao número menor aumentado de 8 unidades, calcule o número maior.

6.    Numa sacola há tomates e batatas. O número de tomates é igual ao número de batatas, diminuído de 6 unidades. Qual é o número de tomates?

7.    Paulo tem o triplo da idade de Júlia. Encontre a idade de Paulo, sendo de 26 anos a diferença de idade entre Paulo e Júlia.

8.    Um homem tem galinhas e coelhos, num total de 54 bichos. Se o número de coelhos é o triplo do número de galinha, calcule o total de coelhos.

9.    Determine o número que somando com 32 é igual a 50.

10. Qual é o número que somado com seu dobro é igual 18?

11. Calcule o número cujo triplo, somado com 19, tem como resultado 64.

12. Paulo tem o triplo da idade de André. A soma das idades é 44 anos. Determine a idade de André.

13. Um pacote de laranjas contém o dobro de laranjas de outro pacote. Se o total de laranjas é 93, quantas laranjas têm o pacote menor?


RESPOSTAS



1)      10
2)      12
3)      29
4)      31
5)      25
6)      14
7)      39
8)      48
9)     11
10)   31


Proporção

1.    Sabendo-se que x + y + z = 18 e que, x/2 = y/3 = z/4, calcule x.

2.    Três números são proporcionais a 1, 3 e 5. Calcule sua soma, sabendo-se que o seu produto é igual a 960.

3.    Humberto, Aline e Junior possuem uma livraria cujo o investimento foi de 9 mil reais. Humberto entrou com 2 mil reais, Aline com 3 mil reais e Nilson com 4 mil reais. O lucro da livraria é dividido em partes proporcionais ao investimento de cada um deles. O lucro do mês de maio foi de 1800 reais, calcule quanto cada um vai receber neste mês.

4.    Nilson vai dividir 360 mil reais entre seus três filhos, proporcionalmente ao número de membro da família de cada um deles. O primeiro tem esposa e 3 filhos, o segundo tem 2 filhos e é viúvo e o terceiro tem esposa e 2 filhos. Quanto cada filho vai receber?

5.    Será distribuído entre dois atletas o patrocínio de 42 mil reais, o melhor classificado receberá sua parte proporcional a 3 e o segundo, a 1. Determine quanto cada um recebeu.

6.    Pedro quer dividir uma régua de 42 cm em parte proporcionais a 3, 5 e 6, quanto medirá cada parte.

7.    A diretora de uma escola recebeu 372 livros para repartir proporcionalmente entre duas turmas. A 5ª A possui 32 alunos e 5ª B possui 30 alunos. Quantos cadernos cada turma vai receber? 

8.    Divida 45 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6.

9.    Divida 295 em partes inversamente proporcionais a 5, 1 e 9.

10. Divida 560 em partes inversamente proporcionais a 1, 3, 4 e 7.


RESPOSTAS



1)       4
2)       36
3)       Humberto = 400, Aline = 600 e Nilson = 800
8)     20, 15 e 10
9)     45, 225 e 25
10)   9408/29, 3136/29, 2352/29, 1344/29






Relações métricas no triângulo retângulo e teorema de Pitágoras



  1. Entre duas torres de 13 m e 37 m de altura existe, na base, uma distância de 70 m. Determine a distância entre os extremos dessa torres.

  1. Em um triângulo retângulo ABC, a diferença entre os catetos é 2 cm e o produto é 48 cm2. Calcule:

a)a hipotenusa deste triângulo.
b)a altura relativa a hipotenusa.
c)as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

  1. Os lados de um losango medem 5 cm e uma das diagonais mede 9,6 cm. Calcule o valor da outra diagonal.

  1. Num retângulo, um dos lados é 3/4 do outro e a diagonal mede 10 cm. Calcule a área do retângulo.
      
  1. Calcule as medidas dos catetos de um triângulo retângulo, sabendo que a área é 150 m2 e que a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é 625 m2. R = 15 cm e 20 cm     
                              
  1. Dado um trapézio ABCD retângulo em A e D, onde AB = 13, CD = 8 e AD = 12. Calcule BC.

  1. Determine a altura relativa a hipotenusa de um triângulo retângulo sabendo que os catetos medem 3 m e 4 m.
     9.  Calcule os catetos de um triângulo retângulo, sabendo-se que a razão de suas medidas é 3 : 4 e a hipotenusa mede 15 cm.

 

10.  Sabendo que a diferença entre os catetos de um triângulo retângulo ABC é 5 cm e o produto entre eles é 300 cm2. Calcule as projeções m e n dos catetos sobre a hipotenusa.

11.  O perímetro de um triângulo retângulo é 48 cm e a diferença entre as medidas dos catetos é 4 m. Determine a medida do maior cateto.

12.  As diagonais de um losango medem 16 cm e 30 cm. Calcule o valor do lado desse losango.

13.  Durante um incêndio em um apartamento de edifícios, os bombeiros precisaram usar uma escada magirus de 35 m para atingir a janela do apartamento com incêndio. A escada estava colocada sobre um caminhão a 21 m do edifício. Determine a altura deste apartamento em relação a base da escada.
RESPOSTAS

1.   74 m
2. a)   10 cm
b)   4,8 cm
c)   6,4 cm e 3,6 cm
3.    2,8 cm
4.   48 cm2
5.   15 cm e 20 cm
6.   13 cm
7.   2,4 m
8.   6 cm
9.   9 cm e 12 cm
10.   9 cm e 16 cm
11.   12 m
12.   17 cm13.   28 m

SIMULADO

1. Se (x; y) e (y; 12) são sucessões de números diretamente proporcionais, então:
a) x = y/2
b) x = y/3
c) x = y/4
d) x = y/5
e) y = 3x/12
2. Um fazendeiro tem ração para alimentar 50 galinhas durante 80 dias. Decorridos 15 dias resolveu vender 10 galinhas. De quanto poderá ser aumentada a ração diária de cada galinha durante o resto do período?
a) 5/4
b) 3/5
c) 1/5
d) 1/4
e) 3/4
3. O salário de uma pessoa era, em setembro de 1998, R$ 12.000,00 e em dezembro de 1998, R$ 13.886,46. Sabe-se que as taxas de reajustes aplicadas ao seu salário em outubro e novembro foram respectivamente de 5% e 3%. Qual foi a taxa de reajuste relativa ao mês de dezembro?
a) 7% b) 8% c) 10% d) 9%             e) 11%
4. Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a juros compostos de 120% a.a., com capitalização mensal, por 4 meses. Determine a taxa de juros quadrimestral em que o mesmo poderia ser aplicado a fim de se obter o mesmo juro.
a) 10% aq
b) 33,1% aq
c) 40% aq
d) 41,46% aq
e) 46,41% aq
5. Uma duplicata no valor de R$ 1.440,00 foi descontada por dentro 5 meses antes do vencimento à taxa simples de 48% a.a. O valor líquido dessa duplicata foi de:
a) R$ 1.000,00
b) R$ 1.200,00
c) R$ 1.260,00
d) R$ 1.340,00
e) R$ 1.400,00
6. Um hóspede de um hotel teve que pagar R$ 174,00 por quatro dias de hospedagem. Pela estada de oito dias outro hóspede pagou R$ 342,00 num quarto do mesmo tipo. Sabe-se que a conta de cada um dos hóspedes foi calculada multiplicando-se o valor da diária pelo número de dias de permanência e adicionando-se ao resultado uma taxa fixa de hospedagem. Nestas condições, considere as afirmativas abaixo:
I – No cálculo feito a despesa é uma função linear do número de dias de permanência.
I I – A taxa fixa que foi cobrada de cada hospede foi de R$ 4,00.
I I I – Por uma estada de 5 dias nas mesmas condições a conta do hotel seria de R$ 216,00.
Assinale a única alternativa correta:
a) Somente a afirmativa I está correta.
b) Somente a afirmativa I I está correta.
c) Somente as afirmativas I e I I estão corretas.
d) Somente as afirmativas I e I I I estão corretas.
e) Somente as afirmativas I I e I I I estão corretas.
7. Para fazer um cercadinho para uma horta no quintal de casa, o dono da casa dispõe de 16 metros de tela de arame. Se ele aproveitar o muro que fica no fundo do quintal como um dos lados do cercadinho, ele poderá fazer o cercadinho com um formato retangular usando os 16 metros de tela para formar os outros três lados do retângulo. Nestas condições, julgue as afirmativas abaixo:
I – A área que o cercadinho terá não depende das medidas dos lados do retângulo formado pois ele usará sempre os mesmos 16 metros de tela.
I I – A área que o cercadinho terá depende das medidas escolhidas para os lados do retângulo formado e pode ser expressa como uma função quadrática da medida de um dos lados do retângulo.
I I I – A maior área possível do cercadinho será obtida quando o maior lado do retângulo formado tiver 12 metros.
Assinale a única alternativa correta:
a) Somente a afirmativa I está incorreta.
b) Somente a afirmativa I I está incorreta.
c) Somente as afirmativas I e I I estão incorretas.
d) Somente as afirmativas I e I I I estão corretas.
e) Somente as afirmativas I I e I I I estão incorretas.
8. Se o número 225 for dividido em 3 partes, formando uma progressão aritmética, de maneira que a terceira parte exceda a primeira em 140 unidades, essas três partes serão:
a) números primos entre si.
b) todas múltiplas de 3 e de 5.
c) todas menores que 100.
d) todas maiores que 10.
e) todas fatores do número 54.375.
9. Um triângulo isósceles tem 32 cm de perímetro e 8 cm de altura em relação à base (isto é, com relação ao lado diferente dos demais). A área deste triângulo, em centímetros quadrados, é:
a) 24
b) 16
c) 96
d) 100
e) 48
10. Uma piscina infantil, dessas infláveis, tem fundo circular com 2 metros de diâmetro e tem 40 centímetros de altura. Para enchê-la com água até três quartos de sua altura, o número aproximado de litros necessário será:
a) 924
b) 942
c) 1.265
d) 1.256
e) 1.526

SIMULADO DE MATEMÁTICA
GABARITO
01.
C
06.
D
02.
D
07.
A
03.
A
08.
E
04.
E
09.
E
05.
B
10.
B







Teodolito

Existem uma diversidade de teodolitos para diversos tipos de usos, precisões e alcances. Originalmente apenas um aparelho óptico, hoje estão disponíveis no mercado teodolitos automáticos, que, por meio de dispositivos eletrônicos, fazem a leitura dos pontos e os armazenam na memória, sendo possível exportados por software para se fazer mapas com as características topográficas do local medido.
Como usá-lo?
Segure o teodolito e posicione-se de tal forma que o lado maior do triângulo (hipotenusa) aponte para o ponto mais alto do objeto a ser medido, mantendo um dos outros lados (catetos) na vertical, ou seja, paralelo ao fio do prumo.
         Meça a distância até o objeto (A) e some esse número à altura do olhar do observador (B). O resultado será aproximadamente a altura do objeto que você queria medir.